最小生成树

最小生成树对应的图一般都是无向图

Prim 算法

朴素版 Prim 算法

时间复杂度:O(n2)O(n^{2})

适合稠密图

Prim 算法求最小生成树

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];
// d[i] 表示节点 i 到生成树的最短距离
int d[N];
bool st[N];

int n, m;

int prim() {
memset(d, 0x3f, sizeof d);
int res = 0;
// 有 n 个节点,循环 n 次
for(int i=0;i<n;i++) {
int t = -1;
// 找到不在生成树中,且距离当前生成树最近的点
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(!st[j] && (t == -1 || d[t] > d[j])) t = j;
}
// 如果图不连通,直接返回 INF
if(i && d[t] == INF) return INF;
// 将这个点纳入生成树节点集合,t 节点对应的到生成树距离最短的边就是新的生成树的边
st[t] = true;
if(i) res += d[t];
// 尝试更新其他点到生成树的距离
for(int j=1;j<=n;j++) {
d[j] = min(d[j], g[t][j]);
}
}
return res;
}

int main() {
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while(m--) {
int a, b, w;
cin >> a >> b >> w;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], w);
}
int t = prim();
if(t == INF) cout << "impossible" << endl;
else cout << t << endl;
return 0;
}

堆优化 Prim 算法

时间复杂度:O(mlog(n))O(m \cdot log(n))

适合稀疏图,不太常用

Kruskal 算法

时间复杂度:O(mlog(m))O(m \cdot log(m))

适合稀疏图

算法步骤:

  1. 将所有边按照权重从小到大排序。O(mlog(m))O(m \cdot log(m))
  2. 枚举每条边。如果这条边的两个节点 a, b 不连通,将这条边加入最小生成树。
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二分图

一个图是二分图当且仅当图中不含奇数环

染色法

时间复杂度:O(m+n)O(m + n)

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

// 因为是无向图,边数乘以 2
const int N = 100010, M = 200010;

// 邻接表
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int st[N];


void add(int a, int b){
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

// 将节点 u 染成 color
bool dfs(int u, int color) {
// 给当前点染色
st[u] = color;
// 遍历所有相邻节点
for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
int j = e[i];
// 如果没有染色,就染相反的颜色
if(!st[j]) {
if(!dfs(j, 3 - color)) return false;
// 如果已经染色,并且和当前节点颜色相同,返回 false,不是二分图
} else if(st[j] == color) return false;
}

return true;
}
int main() {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);

memset(h, -1, sizeof h);
while (m --){
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b), add(b,a); // 无向图
}

bool flag = true;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
if(!st[i]){
if(!dfs(i, 1)){
flag = false;
break;
}
}
}

if(flag) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}

匈牙利算法

最坏时间复杂度:O(mn)O(m \cdot n)

实际运行时间远小于 O(mn)O(m \cdot n)

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1e5 + 10;
int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}

// 寻找节点 x 能够匹配的节点
bool find(int x) {
// 遍历与节点 x 相连的所有节点
for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]) {
int j = e[i];
// 如果这个节点还没有被搜索过
if(!st[j]) {
st[j] = true;
// 如果右半部分集合中的点还没有匹配或者能够更换匹配
if(match[j] == 0 || find(match[j])) {
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
// 邻接表初始化头结点为 -1
memset(h, -1, sizeof h);
while(m--) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
}
int res = 0;
// 遍历左半部分的所有节点
for(int i=1;i<=n1;i++) {
memset(st, false, sizeof st);
if(find(i)) res++;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}